Welcome to Pi’s Day!!
 
ขอต้อนรับเข้าสู่วันที่ระลึกค่าไพสากลครับ!!
 
ตามที่ได้บอกไปก่อนหน้านี้เกือบ 2 สัปดาห์ ว่าจะเขียนเรื่องราวเกี่ยวกับความเป็นอตรรกยะของค่าไพ ซึ่งผมขอออกตัวไว้ก่อนว่าผู้อ่านที่ไม่ค่อยถูกชะตากับวิชาคณิตศาสตร์ ก็สามารถผ่านไปอ่าน blog อื่นๆ ก่อนหน้านี้ได้เลยครับ
 
อันว่าค่าไพนั้น นักคณิตศาสตร์ทราบว่ามันคือ "ค่าคงที่" (constant) ค่าหนึ่ง ที่ได้จากอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงของวงกลมกับความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเดียวกัน และประเด็นเรื่องค่าคงที่นี้เองที่คนจำนวนไม่น้อยสับสนกันระหว่างคำว่า "ค่าคงที่" กับคำว่า "อตรรกยะ" กล่าวคือ หากเราทราบว่ามันคือค่าคงที่แล้วไซร้ เหตุไฉนเราจึงกล่าวได้ว่าค่าไพนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะซึ่งหมายถึงว่า ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนอย่างต่ำได้
 
ความจริงที่ไม่อาจปฏิเสธได้ของประเด็นนี้ก็คือ เป็นความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนอย่างมากที่เราคิดว่า "ค่าคงที่" คือ ค่าที่แน่นอน และไม่มีวันแปรเปลี่ยน หรือกล่าวอย่างภาษาชาวบ้านก็คือ เรารู้ค่าของสิ่งๆ นั้นโดยแจ่มชัด และไม่ว่าฟ้าจะถล่ม ดินจะทลาย ค่านี้ก็ยังคงเหมือนเดิม ซึ่งต่างกันโดยสิ้นเชิงกับความเป็นอตรรกยะ เพราะความเป็นอตรรกยะนั้นมีนิยามของตัวเองอย่างชัดเจนดังที่กล่าวแล้วข้างต้น เพราะฉะนั้นแล้ว การเป็นค่าคงที่กับความเป็นอตรรกยะนั้นเป็นคนละเรื่องกัน
 
ถึงแม้ว่าในประเด็นเรื่องค่าคงที่กับความเป็นอตรรกยะนั้นจะเป็นคนละส่วนกัน แต่ก็ได้ทำให้เกิดแรงบันดาลใจเล็กๆ ของนักคณิตศาสตร์จำนวนไม่น้อยที่เพียรพยายามในการพิสูจน์ว่าค่าไพนั้นเป็นจำนวนตรรกยะซึ่งหมายความว่า เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ หรือกล่าวอีกอย่างก็คือ เราสามารถเขียนค่าไพให้อยู่ในรูปทศนิยมจำนวนจำกัดได้ ซึ่งถ้าวันหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้จนสิ้นข้อสงสัยทั้งหมดทั้งปวงว่าค่าไพเป็นจำนวนตรรกยะแน่ๆ เราก็อาจกล่าวได้อย่างเต็มปากเต็มคำว่า ไพเป็นจำนวนตรรกยะอย่างแน่นอน แล้วเราก็สามารถหาพื้นที่ของรูปวงกลม หาปริมาตรของทรงกลม ตลอดจนการคำนวณที่มีค่าไพเข้ามาเกี่ยวข้องก็จะไม่ต้องใช้การประมาณอีกต่อไป แต่สามารถใช้ค่าที่แน่นอนนี้ได้ทันที แต่ข่าวร้ายก็คือ จนกระทั่งวันนี้ก็ยังไม่มีใครทำได้ แม้ว่าจะมีความพยายามใช้ตัวช่วยอย่างเช่นคอมพิวเตอร์สมรรถนะสูงส่ง (super computer) ก็ยังคงไม่ประสบความสำเร็จอยู่ดี
 
ความเข้าใจอันคลาดเคลื่อนประการต่อมาก็คือ คำกล่าวที่ว่าค่าไพมีค่าเท่ากับ (ซึ่งก็คือที่มาของวันที่ระลึกค่าไพสากลนั่นเอง) ความเข้าใจนี้เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กับการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ระดับพื้นฐานในหลายๆ ประเทศ โดยในการคำนวณที่มีค่าไพเข้ามาเกี่ยวข้องเพื่อความสะดวกเขามักกำหนดให้ค่าไพเท่ากับ เพื่อที่ว่าเมื่อนำค่านี้ไปคูณกับจำนวนที่มี 7 เป็นตัวประกอบก็จะกลายเป็นการคูณด้วยเอกลักษณ์ 7 ซึ่งเป็นตัวส่วนใน ก็จะหายไป
 
ความจริงที่ไม่อาจปฏิเสธได้ของประเด็นนี้ก็คือ การกำหนดให้ค่าไพเท่ากับ นั้นเป็นเพียงการกำหนดขึ้นเพื่อความสะดวกในการคำนวณเท่านั้นเอง แต่ไม่ได้มีนัยที่เลยไปถึงขั้นที่กล่าวว่าทั้งสองค่านี้เท่ากัน ด้วยเหตุที่ว่าจำนวนทั้งสองเป็นจำนวนคนละชนิดกัน จริงอยู่ว่าถ้าเรากดเครื่องคิดเลขดูจะพบว่า นั้นให้ค่าประมาณ คือ 3.14285 เมื่อเทียบกับค่าไพ คือ 3.14159 ซึ่งจะเห็นว่ามีความคลาดเคลื่อนประมาณ  แต่นั่นก็เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าวๆ เท่านั้น ในความจริงแล้วยังมีจำนวนตรรกยะอีกไม่น้อยที่ให้ค่าประมาณใกล้เคียงกับค่าไพมากกว่า เสียอีก เช่น  ซึ่งคลาดเคลื่อนจากค่าไพเพียง เป็นต้น
 
อนึ่ง ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ชั้นสูงมักมีค่าไพเกี่ยวข้องด้วยเสมอ หรืออย่างน้อยที่สุดผลลัพธ์แห่งการคำนวณดังกล่าวมักเกี่ยวข้องกับค่าไพด้วย เช่น การคำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้
 
 
 
 
หรือแม้กระทั่งเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มหัศจรรย์และยิ่งใหญ่ที่สุดเท่าที่มนุษย์รู้จักก็มีค่าไพเข้ามาเกี่ยวข้อง โดยเราเรียกเอกลักษณ์นี้ว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler’s Identity) ซึ่งแถลงว่า
 
 
ถามว่า… เอกลักษณ์นี้มหัศจรรย์และยิ่งใหญ่อย่างไร? คำตอบก็คือ เอกลักษณ์นี้ได้ผนวกเอาหัวข้อที่สำคัญทางคณิตศาสตร์ไว้หลายข้อด้วยกัน ได้แก่
(1) ค่าคงที่ 3 ตัว คือ e ไพ และ i
(2) จำนวนเต็ม 0 กับ 1
(3) การดำเนินการบวก คูณ และยกกำลัง
 
ทั้งหมดนี้เป็นแง่มุมเล็กๆ เกี่ยวกับค่าไพ ก็หวังว่าจะเป็นประโยชน์กับผู้อ่านบ้าง รวมทั้งเป็นการเฉลิมฉลองเนื่องในวาระพิเศษเช่นนี้ด้วยครับ